第3章:尴尬

窗外的阳光洒落在班级上，深蓝色的窗帘也挡不住盛夏的烈日

林泽年看着自己旁边空旷的座位微微皱眉，用笔轻轻的戳了一下林木"你知道秦泽到哪去了吗？怎么还没回来？”

林木反头瞅了眼林泽年，又看了看秦泽的位置敷衍的说"哦，他去跟主任商量篮球比赛的事，所以，还没回来。"

林泽年收回手，点点头。

此时台上的老师正盯着他们俩，看着他们俩说的没完没了，便微微有些发怒"你们俩到底有完没完？要讲上来讲，上来把黑板上的道题给我们写一下”

林木看着黑板上的竞赛题愁眉苦脸，林泽年自然也注意到了，便举手示意″老师是我找他讲的，不怪他"

阳老师的脸已经完全黑了"行你上来把这题写了"心里暗自想"半路转过来的，成绩指定不好，看你做不出来怎么办"

林泽年见状大步流星的走向讲台手起笔落没到3分钟就答完了″老师，我写完了"便走下台

题:证明存在正数C，使得如下结论成立对任意一个无穷多项的正整数等差数列a1,a2-ff…若a1和2的最大公约数无平方因子，则存在正整数m≤C.a2,使得em无平方因子(注：称正整数N无平方因子，若它不被任何大于1的平方数整除)

解：c=17满是题意.

设（@；，a2)=点(eN。)，则根据条件，《不含平方因子，设整数x.y满足am=点(x+ng).若zy=0，则显然存在满足条件的am-故不妨设x,y非零，这时有（z,y)=1.记me=aaj=ofP(z+2y)2，

下用反证法证明aj,a2.….m2中存在某一页cm,使得am没有平方因子。

若对于任意m≤mo，am均有平方因子，即存在索数p使得lam.我们将所有能够整除中至少一项的素数构成的集合记为M，并根据能否整除d将M划分为P(能整除d)和Q(不能整除d).

情形I:card(P)＞0,card(Q)＞0.

记P={p,P…,ps}(P＜pa＜…＜p=),Q={q,qg,…,gK{q＜g＜…＜g)

注意到

pể|an钟ß|d(x+ng)钟p|z+ny

所以a,aa,…，amg中至少有_mo__个不为r(i=1,2.…，k)的倍数，记A=__1__，

…，k）的借数，CA…的P…p

“mgT王1g的…个为片一

易知A≥1.

注意对任何整数8,p,da+maーpA三c。(modp3p2…2ả).

故我们可以从ay，a…，am中选出下标公差为pp…p且不被任何整除的Amg个数。在这些数中，若存在某个g(Gj=1,2.…，t)使得了laa,用有glx+ng.注意到（piPa,…Pe,g）=

1(j=1,2,…6),所以这Amo个数中至多有[AmeJ+1个为q2的倍数.于是选出的数中不被任何整除的数的个数不少于

-0(nmo2+2)-camo(1-201)-1

Amg-

一方面，

-2ka-aka-…＞

1

另一方面，根据q.…a的定义，有”→6x+may，所以

t＜916(2+moy=ValP(x+2y)'y+x＜d(x+2y)/(c+1)0

于是有

m(一宏司）

me_tt24d

＞od(x+2y)2-d(x+2y

-d(x+2u)((c+1)y

2al(z+2u)VV_d(x+2u)vivc+1

2d(z+29)/y

3-Ve+I＞0

故e…，ame中至少存在一项不被任何p(i=1,2.…，k)或q；(1,2.…t)整除，矛盾，故假设不成立，命题得证，

情形2：card(Q)=0.

P：P2…，Pa同情形1中的定义，根据情形1中的分析，a1,a2,…,am。中至少有_mg_个

1中的分析，a1，02，……，0mg中至少有2…pk

不为任何(（=1.2…，)的倍数，而显然四≥1，故假设不成立，命题得证

情形2:card(P)=0,card(Q)≠0.

q-q2…，@同情形1中的定义，则情形1中的分析。a1.aq.amg中不被任何c}整除的数的

个数不少于

-2(mo02+2)＞Amo(1-21/)-t20

mo-

故假设不成立，命题得证

阳老师″……"